Pubblicato in: n. 11 Misura /

L’inafferrabile ‘pi greco’

di Furio Honsell

Innanzitutto sgomberiamo il campo da un pregiudizio frequente: ciò che è misurabile è comprensibile, mentre l’incommensurabile è inafferrabile. Pregiudizio che sembra risalire ai pitagorici e all’orrore con cui accolsero la scoperta che la diagonale di un quadrato non è commensurabile al lato. Si narra che fosse addirittura la morte la pena per chi avesse svelato la dimostrazione che √2 non è un numero esprimibile con una frazione. L’irrazionalità numerico distruggeva irreparabilmente l’illusione che il mondo fosse retto da un’armonia razionale.
La commensurabilità, ossia la proprietà che due quantità siano multiplo intero di una stessa unità di misura, sembra concetto elementarissimo. Ad esempio, due bastoni di lunghezza, rispettivamente, 1/4 e 1/503 di una qualche unità sono tra loro commensurabili perché entrambi sono lunghi un multiplo intero di un bastoncino di lunghezza 1/2012.
A guardare più a fondo la cosa, invece, la commensurabilità è un concetto di complessità illimitata. Un punto segnato su un bastone può condensare l’informazione di tutte le biblioteche del mondo e molto di più, pur dividendo il bastone in due segmenti tra loro commensurabili. Basta che il minimo comune multiplo delle misure dei due pezzi del bastone sia un numero sufficientemente grande. Che un numero possa codificare qualsiasi informazione, compresa quella espressa a parole, penso sia ovvio per tutti, essendo proprio ciò che ha reso possibile quella ‘rivoluzione digitale’ che oggi non ci dà scampo.
La diagonale del quadrato è invece solo apparentemente diabolica! La sequenza di cifre decimali della sua rappresentazione numerica non si ripete, d’accordo, ma da un punto di vista geometrico è assolutamente addomesticabile. Platone stesso, nel Menone (82b-86c), dovendo scegliere un problema da far risolvere a uno schiavo umile e ignorante per stupire gli astanti con la sua capacità maieutica nel risvegliarne la memoria, gli pone un problema che coinvolge, guarda caso, proprio la diagonale. ‘Come costruire un quadrato di area doppia di quella di un quadrato dato?’
E rapidissimamente lo schiavo, sapientemente guidato da Socrate, costruisce un siffatto quadrato scegliendo come lato del nuovo quadrato proprio la diagonale di quello di partenza. Nulla di più semplice! Vi chiederete, incidentalmente, perché mai i greci, come del resto anche gli antichi indiani vedici, lontani migliaia di chilometri, avessero queste esigenze di duplicare con esattezza quadrati e cubi? La risposta sta nella comune origine rituale della matematica. Affinché un sacrificio sia efficace, il simulacro deve essere esattamente analogo in tutte le proporzioni a ciò che rappresenta. Arriviamo dunque a π liberi da pregiudizi. È naturale concepire π geometricamente, ovvero esteticamente, ma ancor oggi, per tanti aspetti, π è sfuggente da afferrare numericamente.
π è la lunghezza della circonferenza, che è il perimetro (da cui la lettera π) di un cerchio di diametro 1. È anche l’area di un cerchio di raggio 1. Ed è la superficie di una sfera di diametro 1 (fu Archimede il primo a dimostrare che si può scegliere come π una qualsiasi di queste definizioni, seppur così diverse tra loro, e ottenere sempre la stessa quantità). Ma la semplicità di π emerge anche in geometrie più ardite. Dante Alighieri, convinto assertore della sfericità della Terra, volle immaginare di forma ipersferica anche la cosmologia della sua Commedia. La concepì come la superficie di una 3-sfera, ossia lo spazio tridimensionale ottenuto incollando lungo la superficie esterna due sfere tridimensionali: quella che ha la Terra al centro, avvolta dai nove cieli attraverso i quali Beatrice accompagna Dante; e quella che ha il «punto fisso che li tiene all’ubi» (Par. XXVIII, 95) al centro ed è circondata dai nove cori angelici, illustrata a Dante da Bernardo. Le due sfere sono ‘incollate’ tra loro lungo la superficie esterna, che è comune a ciascuna di esse e che Dante chiamò ‘Empireo’. Ovviamente l’operazione di ‘incollamento’ si può fare solo nella quarta dimensione. Ma anche se l’occhio della mente fa un po’ fatica ad immaginare il ‘multiverso’ dantesco con naturalezza, il buon π ci permette di esprimerne facilmente il volume che è 2π2. In verità, il matematico russo Grigori Perelman ha recentemente dimostrato che l’universo dantesco non sarebbe potuto essere diverso non avendo ‘buchi’. π compare naturalmente in tante situazioni inaspettate. Ne citerò una per tutte. Il conte Buffon, nel XVIII secolo, calcolò π dalla frequenza con la quale uno stuzzicadenti, cadendo a caso sul pavimento, incrociava la linea di separazione tra due tessere del parquet nel suo studio. Cosa vi è di più semplice o di più prosaico? Basta un po’ di maleducazione nello sbarazzarsi di uno stuzzicadenti per definire π! Salomone, in questo caso forse più sbrigativo che saggio (ma certe volte anche questa è saggezza), usò come valore di π il numero 3 (1 Re 7, 23). I babilonesi utilizzavano un’approssimazione razionale per π data dalla frazione 25/8 (a me, da bambino, insegnarono 22/7, che è un’approssimazione migliore). Archimede capì che π era difficile da cogliere con esattezza ed escogitò il metodo di racchiudere il cerchio tra poligoni regolari inscritti e circoscritti, con numeri di lati via via crescenti. Si stufò nel ripetere l’operazione quando giunse a concludere che il valore di π è compreso tra 3 + 10/71 e 3 + 10/70. Nel 480 Zu Chongzhi trovò un’approssimazione razionale di π sorprendente: 355/113. Bel colpo! Fornisce ben 6 cifre decimali corrette ed è memonicamente accattivante: 113355! Ma fu il matematico indiano Ma¯dhava di Sañgama¯grama che, mille anni dopo, comprese come fosse possibile esprimere molto naturalmente π come somma limite di una serie infinita: 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 +… (immagino che abbiate capito come proseguire). E questa fu la prima di tantissime e regolarissime sequenze infinite e relazioni notevoli che si dimostra π soddisfi, senza che ci si debba sporcare le mani con le sue cifre. Si deve al proverbiale ottimismo di Gottfried Wilhelm Leibniz, nel Seicento, l’aver scoperto un gran numero di queste formule, alcune delle quali permettono efficienti procedure per il calcolo delle cifre decimali di π. Nel XII secolo Maimonide fu il primo a convincersi che π non è un numero razionale, ovvero che la sequenza delle sue cifre decimali non si ripete mai. Ma solamente nel 1761 Johann Heinrich Lambert riuscì a dare una dimostrazione di questo fatto. Quasi un secolo dopo, Ferdinand von Lindemann si spinse oltre dimostrando che π è un numero ancora più sfuggente, ovvero è trascendente, non essendo nemmeno soluzione di un’equazione algebrica a coefficienti interi. Sulla sequenza delle cifre decimali di π sappiamo ancora pochissimo, anche se ne conosciamo a tutt’oggi ben 5 miliardi. Per affermare che π è davvero diabolico si dovrebbe dimostrare che non vi è nessuna regolarità nel susseguirsi delle sue cifre, che queste sono casuali. Un primo passo consisterebbe nel dimostrare che non ve ne sono alcune che ricorrono più frequentemente di altre. Ebbene qui non sappiamo ancora nulla. La congettura è che π sia un numero cosiddetto normale, ossia che nella sua coda decimale tutti i numeri interi occorrono con la giusta frequenza, ovvero un decimo per i numeri di una cifra, un centesimo per quelli di due cifre, e così via.
In attesa che qualcuno riesca nell’impresa di dare una dimostrazione di questo fatto, non ci rimane che pensare alle cifre di π come ci suggerisce con straordinaria efficacia la poetessa polacca Wisława Szymborska, premio Nobel nel 1996. Nella sua poesia Pi greco, per l’appunto, legge nelle cifre decimali una sciarada di numeri:

[…] due tre quindici trecento diciannove
il mio numero di telefono il tuo numero di camicia
l’anno mille novecento settanta tre sesto piano
numero di abitanti sessanta cinque centesimi
giro dei fianchi due dita […]

Ho cercato di capire se davvero compaiono questi numeri tra le cifre decimali di π. Ebbene, nel primo milione di cifre di π, ci sono davvero, e precisamente nella sequenza della poesia, ancorché non tutti di seguito.
Giunti qui, piuttosto delle cifre di π, vale la pena di inseguire i numerosissimi luoghi matematici nella poesia della Szymborska. La poesia Pi greco è apparsa nella raccolta Grande Numero (2006) che è pure il titolo di un’altra poesia che inizia così:

Quattro miliardi di uomini su questa terra
ma la mia immaginazione è uguale a prima.
Se la cava male con i grandi numeri.
Continua a commuoverla la singolarità.

Nel suo Contributo alla statistica, dalla raccolta Attimo (2004), dirà:

Su cento persone
[…]
degni di compassione
- novantanove;
mortali
- cento su cento.
Numero al momento invariato.

E veniamo, infine, a quanti problemi ci ha procurato la natura numericamente irripetibile di π. Non mi riferisco qui al rompicapo-luogo comune, ovvero alla ‘quadratura del cerchio’, che da Euclide fino a Lindemann ha sempre sedotto matematici e non.
Ed è stato pure causa di grande vergogna per la filosofia, vista l’insistenza con la quale il grande filosofo Thomas Hobbes si ostinò nell’affermare di esservi riuscito, finendo invece solamente per litigare a morte con un vero matematico, John Wallis, e per dimostrare che è più facile scoprire gli errori in matematica che in filosofia (e credo che non ci dispiacerebbe, però, dimostrare che avesse torto anche in quel campo, viste le sue tesi).
π è complice di uno dei più grandi grattacapi dell’umanità, che non è solamente questione accademica, ma assolutamente pratica, ovvero il problema dello ‘spiaccicamento della sfera’. Espresso in modo più forbito, si tratta del problema di come triangolare la superficie terrestre in modo da realizzare delle carte geografiche fedeli, che si possano stendere sulla tavola. L’amara verità è che nessuna triangolazione è mai esatta e quindi nelle nostre carte sfugge sempre qualcosa. Se si riescono a conservare le aree, non si riescono a conservare gli angoli tra le rette e viceversa. Se si tiene conto degli angoli, le distanze scappano all’infinito oppure le linee rette diventano curve o non si conservano le direzioni. Intanto, π è però diventato il simbolo della matematica per antonomasia. Da alcuni anni, in tutto il mondo, si festeggia la matematica il 14 marzo poco dopo le 15 di pomeriggio (…guardate attentamente le cifre!). Non è solamente il compleanno di Einstein, è il ‘Pi greco day’. A Udine, ad esempio, lo celebriamo nelle piazze organizzando giochi a sfondo matematico. Uno di questi consiste nel recitare a memoria il maggior numero di cifre decimali di π, ovviamente nell’ordine esatto: l’ingegnere Nicola Pascolo, recentemente, ha voluto tentare il primato italiano ed è riuscito a ripetere senza errori ben 6.935 cifre esatte! Esiste poi anche un ramo della letteratura a contrainte, la ‘Pifilologia’, che promuove la composizione di filastrocche, poesie, racconti che nella sequenza delle lunghezze delle parole ricalchino π… A noi non rimane, come dice la Szymborska, che ammirare come le cifre di π si susseguano «stimolando, oh sì, stimolando la pigra eternità a durare».

© Riproduzione riservata

Furio Honsell

Furio Honsell, docente di Informatica presso l’Università di Torino, la Stanford University in California e l’École Normale Supérieure di Parigi, è stato Rettore dell’Ateneo di Udine fino al 2008. Ha all’attivo oltre un centinaio di articoli scientifici su argomenti di informatica teorica e applicazioni della logica all’informatica. Tra i suoi libri, ‘L’algoritmo del parcheggio’ (Mondadori, Milano 2007) e ‘Curiosità e divertimenti con i numeri’ (con G.T. Bagni, Aboca, Sansepolcro 2009).

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