Pubblicato in: n. 06 Uguale /

Il segno di uguaglianza

di Giorgio T. Bagni

«L’uguaglianza è un concetto infido; in un certo senso anche paradossale, se non si fanno le dovute distinzioni. Si pensi all’assurdità apparente di dire ‘se due numeri sono uguali…’. Se sono uguali non sono due», scrive Gabriele Lolli. Eppure il segno con il quale indichiamo l’uguaglianza, quella comunissima coppia di trattini sovrapposti, è uno dei protagonisti basilari, plausibilmente innocui del linguaggio matematico e, per alcuni versi, anche del linguaggio comune. Sembra che ‘=’ sia un segno in qualche modo ‘primitivo’, dal significato così evidente da non richiedere nemmeno una vera e propria definizione. Non sarà inutile però notare che già questa supposta ‘primitività’ deve essere smentita: nella teoria degli insiemi, ad esempio, la scrittura A = B altro non è che un’abbreviazione per A⊆B ∧ B⊆A e quindi fa riferimento al concetto di inclusione.

Nella storia della matematica il segno di uguaglianza compare in tempi abbastanza recenti, preceduto dai segni di addizione e di sottrazione (introdotti nel 1489 da Johannes Widmann, 1460?-1498?); fu usato per la prima volta nel 1557 da Robert Recorde (1510-1558) nel libro The Whetstone of Witte (compare anche in un manoscritto databile tra il 1550 e il 1568, attualmente conservato presso l’Università di Bologna; non venne poi impiegato in pubblicazioni a stampa fino al 1618, quando lo ritroviamo in un’anonima ‘Appendice’, probabilmente di Oughtred, alla traduzione di Edward Wright della Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio di John Napier); venne seguito, cronologicamente, dai segni di moltiplicazione (1631) e di divisione (1657), ad opera di William Oughtred (1574-1660). Nel primo libro di matematica stampato al mondo, Larte de Labbacho (un manuale anonimo di aritmetica pubblicato a Treviso nel dicembre del 1478) l’uguaglianza era ancora indicata con la parola ‘fa’ e le quattro operazioni aritmetiche con i termini ‘et’ (per ‘iongere’, sommare), ‘de’ (per ‘levare, cavare’, sottrarre), ‘fia’ (per ‘moltiplicare’) e ‘in’ (per ‘partire’, dividere).

Storicamente, l’introduzione del simbolismo aritmetico-algebrico ha reso possibile lo sviluppo formale di importanti settori della matematica; notiamo però sin d’ora, ad esempio dal punto di vista didattico, che il segno e la nozione stessa di uguaglianza si riconducono a diverse interpretazioni e possono, per questo, determinare situazioni problematiche: ‘=’ è presentato nella Scuola Primaria come segno spontaneamente legato ad una qualche operazione, per la quale a destra c’è il solo ‘risultato’. Dunque ‘=’ appare come il segno conclusivo di un processo: Bruno D’Amore ha rilevato che spesso l’uguaglianza 2+2 = 4 non viene considerata equivalente alla 4 = 2+2; molti giovani allievi noterebbero che quest’ultima è scritta… ‘a rovescio’ (a dispetto di quella che sarà detta proprietà simmetrica). In altre fasi del curriculum matematico, soprattutto nei livelli scolastici più elevati, si tende invece a fare di ‘=’ un uso propriamente relazionale, interpretandolo come entità matematica autonoma, simbolo mediante il quale indicare una particolare (e fondamentale) relazione di equivalenza.

Ci troviamo così di fronte al dualismo processo-oggetto, essenziale sia nella didattica della matematica che nel suo sviluppo storico-epistemologico: un concetto matematico, rappresentato da un segno, è spesso inizialmente inteso alla stregua di un processo, ovvero come indicatore di una procedura; in una fase storica successiva esso può essere considerato come ‘oggetto’ per il quale elaborare una trattazione teorica specifica. Le equazioni, ad esempio, furono introdotte e impiegate in ambiente babilonese ed egiziano (dal II millennio a.C.) in termini esclusivamente procedurali, dunque come strumento per risolvere problemi. I processi risolutivi, in questa prima fase espressi verbalmente, secondo quella che è stata chiamata da Georg Nesselmann (1811-1881) algebra retorica, non facevano alcun riferimento a qualcosa che in senso moderno potremmo denominare una ‘teoria delle equazioni’. Con l’evolversi dei contesti socio-culturali le equazioni sono divenute esse stesse oggetto di studio, a partire dal Rinascimento italiano e francese, segnatamente con le opere di Scipione Del Ferro (1465-1526), Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolò Tartaglia (1499-1557), Rafael Bombelli (1526-1572), protagonisti dell’algebra sincopata, fino a François Viète (1540-1603) e a René Descartes (1596-1650), con i quali si giunge all’algebra simbolica, caratterizzata dall’uso di un simbolismo appropriato: questo è dunque il momento in cui fa la sua comparsa il nostro ‘=’. Si noti che quanto ora riassunto è relativo allo sviluppo della matematica occidentale: in altre tradizioni culturali il ruolo dei segni, in particolare di un segno specifico per indicare l’uguaglianza, è ben diverso. Ad esempio, la rappresentazione delle equazioni sulla ‘tavola da calcolo’ nell’antica matematica cinese è basata su convenzioni posizionali che hanno reso superfluo lo sviluppo di un simbolismo analogo a quello europeo.

Il passaggio dalla considerazione di un procedimento allo studio di un ‘oggetto’ matematico (che Enrico Giusti individua come ‘procedura oggettualizzata’) nella storia produce dunque un avanzamento teorico, ma in ambito didattico, come anticipato, può essere causa di ostacoli. Ciò non significa che una corretta dialettica processo-oggetto non sia importante e utile: anche nel processo di apprendimento cognitivo è auspicabile l’instaurazione di un legame critico tra le concezioni operative e strutturali dello stesso concetto e dunque del segno che lo rappresenta. Anna Sfard sottolinea, a tale riguardo, la presenza di tre momenti successivi: la fase dell’interiorizzazione del processo, rappresentato da uno o più segni di carattere procedurale; la fase della condensazione, in cui il processo viene concepito come un tutto unico e non più come somma di componenti; infine, la fase della reificazione, caratterizzata dalla formazione di entità permanenti, veri e propri oggetti culturali (e didattici). Pertanto, nel caso dell’uguaglianza, gli studenti devono essere progressivamente indotti ad un’analisi del concetto che si sviluppi dalla concezione di strumento a quella di oggetto, collocata ad esempio tra la Scuola Primaria e la Secondaria di I grado. Ciò eviterà una frattura tra la prospettiva dell’insegnante che intende l’uguaglianza come relazione binaria di equivalenza e quella dello studente che la vede soltanto come un indicatore procedurale orientato.

Si osservi che l’uso non relazionale del segno di uguaglianza non è esclusivamente relativo ad allievi giovanissimi; studi sperimentali testimoniano che perfino studenti del I anno del Corso di Laurea in Ingegneria usano il segno di uguaglianza in maniera ambigua, oscillando tra le due interpretazioni precedentemente descritte. Lo studio dei linguaggi dell’informatica, in cui vengono introdotti alcuni simboli specifici collegati al segno di uguaglianza ma da esso distinti per ruolo e caratteristiche, può contribuire positivamente alla comprensione piena e corretta di uno dei concetti più ricchi e interessanti dell’intera matematica.

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Giorgio T. Bagni

Giorgio T. Bagni è ricercatore in Matematiche complementari presso l’Università di Udine. Fra le sue ultime pubblicazioni: 'Rappresentare la matematica: simboli, parole, artefatti, figure' (Aracne, Roma 2007), 'Interpretare la matematica. Introduzione all'ermeneutica dell'apprendimento' (Archetipolibri, Bologna 2009) e 'Introduzione alla logica e al linguaggio matematico' (con D. Gorla e A. Labella, McGraw-Hill, Milano 2010).

Un commento a “Il segno di uguaglianza”

  • buongiorno: sono un matematico applicato del cnr ma soprattutto sono padre di quattro ragazzi tra i 20 e gli 8 anni. ho potuto osservare negli anni come la scuola (indipendentemente dalla bravura o meno degli insegnanti) tende a essere molto sbrigativa su alcuni concetti base (definizioni e motivazioni) e a dilungarsi molto su “prodotti finali” (lunghi esercizi soprattutto). la cosa si potrebbe giustificare con l’argomento che i ragazzi si annoierebbero a sentir parlare per troppo tempo, ad esempio, della definizione di funzione. sta di fatto che di solito non la sanno ridire correttamente perdendone cosi’ l’essenza. il risultato di cio’ e’ che non puoi usare un concetto potente per rendere piu’ facili tutta una serie di esercizi tecnici a valle. ancora piu’ all’origine, in genere c’e’ confusione sul significato del simbolo di uguaglianza e di conseguenza su che cosa sono una identita’, una equazione o una assegnazione. visto che tu mi sembri un esperto di questioni didattiche e di simboli matematici, che ne pensi? io sono un praticone di queste cose, ma avendo fatto in passato anche il programmatore, mi rendo conto che la precisione e la non ambiguita’ dei concetti aiutano a capirsi.

    ciao
    gabriele

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