Pubblicato in: n. 06 Uguale /

Simmetria e asimmetria nella scienza

di Alessandro Pascolini

Il mondo è un posto asimmetrico pieno di esseri asimmetrici. Senza dissimmetria non esiste individualità: l’individuo è qualcosa di cui, in un certo senso, non deve esistere il simmetrico. Ciò vale per l’essere umano e per ogni realtà naturale, incluso il nostro universo.
Pur gelosi della nostra individualità, abbiamo tuttavia una profonda, antica, tensione alla simmetria, al senso di ordine e bellezza che essa sembra garantire, allo spiare uguaglianze con l’altro. L’altro più prossimo può essere anche la nostra stessa immagine riflessa in uno specchio.

Ciò si ritrova in tutti i contesti del pensiero e dell’agire umano: diffusi miti prevedono un mondo ultraterreno analogo a quello della vita, i cabbalisti descrivono la dinamica delle sefirot nella divinità in modo isomorfo alle relazioni umane, i canoni estetici privilegiano strutture con vari livelli di simmetria. Tutte le espressioni artistiche – pittura, scultura, musica, danza, architettura, letteratura –, in tutta la storia e nei diversi contesti culturali, giocano sulla rispondenza e coerenza interna delle forme nello spazio e nel tempo e nell’immaginario che viene evocato. La simmetria è di rigore nell’arte bizantina; nei templi giapponesi, invece, vengono introdotte deliberatamente delle asimmetrie per non irritare la perfezione degli dei. L’idea che la simmetria sia riservata a Dio porta all’introduzione di asimmetrie volute anche in alcune cattedrali cristiane – le torri di Notre Dame a Parigi, ad esempio, differiscono di due metri in altezza.
Le arti nel loro sviluppo si orientano sia verso il raggiungimento di simmetrie, sempre più perfette, più complesse, più elaborate, più ricche, sia verso una liberazione da ogni simmetria, in una rottura e in una ricostituzione continua di equilibrio fra queste due tendenze.

Simmetria, invarianza, relatività
La formulazione del concetto di simmetria nel linguaggio corrente è inadeguata per l’applicazione alla scienza essendo da un lato troppo generica, quale sinonimo di armonia, ordine, e, dall’altro, privilegiando una particolare simmetria antropomorfica, quella bilaterale, applicabile solo ad alcuni oggetti materiali. Per valorizzare a pieno ‘il metodo della simmetria’ nella ricerca scientifica è necessario poterlo applicare non solo a sistemi materiali, fenomeni, ma anche a leggi generali, teorie e classi di teorie e, d’altra parte, si presuppone la definizione di un criterio preciso che discrimini le situazioni in cui la simmetria è presente da quelle in cui è assente.

Hermann Weyl nel suo testo classico La simmetria propone la seguente definizione: la simmetria di un sistema è l’invarianza della configurazione, o stato, di certi elementi del sistema rispetto a un gruppo di trasformazioni reversibili del sistema stesso. A queste invarianze si associano grandezze che si conservano inalterate nelle trasformazioni, dando origine, nella scienza, ai grandi principi di conservazione (energia, momenti, cariche…).
Un sistema per possedere simmetrie deve innanzitutto poter sopportare una classe di trasformazioni; il concetto di simmetria è pertanto dinamico e non statico.

Un aspetto importante della definizione di Weyl è il ricorso a un principio di relatività, in quanto si riferisce all’invarianza di ‘certi elementi’ che vanno scelti introducendo, a seconda del programma di ricerca o dei gusti estetici, una relazione di equivalenza sulle configurazioni del sistema. Tanto più la relazione è debole tanto più ampio risulta l’insieme delle trasformazioni di simmetria: se ogni coppia di stati è considerata equivalente, ogni trasformazione invertibile è una simmetria; all’estremo opposto, se ogni configurazione equivale solo a se stessa, l’unica simmetria è la trasformazione identica, che lascia inalterato ogni stato.

Per esempio, dato un triangolo equilatero in un piano, se consideriamo equivalenti due triangoli che siano esattamente sovrapponibili, le operazioni di simmetria sono date dalle riflessioni rispetto ai tre assi del triangolo e dalle rotazioni di multipli di 120 gradi rispetto ad un asse passante per il suo centro; se vogliamo che i vertici si susseguano nello stesso ordine dobbiamo escludere le riflessioni; se invece consideriamo equivalenti due triangoli equilateri con la stessa area della superficie, ogni traslazione rigida e ogni rotazione sono di simmetria; se la relazione si riduce alla similitudine, anche dilatazioni che mantengano inalterati gli angoli diventano di simmetria.

Trasformazioni di simmetria dei corpi immersi nello spazio sono appunto riconducibili a rotazioni rispetto ad opportuni assi, riflessioni rispetto a piani, linee o punti, traslazioni rigide e trasformazioni di scala, a seconda della scelta delle relazioni di equivalenza.

La possibilità di scelta della relazione di equivalenza permette di riconoscere simmetrie parzialmente nascoste da qualche accidente, rinunciando a considerare come essenziale ogni particolare, ma concentrando l’attenzione su aspetti strutturalmente rilevanti. Osservando un frattale la prima impressione può essere di smarrimento di fronte alla complessità delle sue forme; eppure anche questi enti possiedono una peculiare simmetria di scala associata alla relazione di autosimiglianza: il frattale ripete essenzialmente se stesso a tutte le scale di osservazione.

La simmetria genera ridondanza: i vari stati di un sistema simmetrico, ovvero le sue parti, possono essere ricostruiti a partire da pochi elementi utilizzando le trasformazioni di simmetria per comporlo completamente. Così per fare i cuori di San Valentino, Charlie Brown disegna un mezzo cuore e tenta di ricalcare l’immagine. Un’applicazione meno banale della ridondanza dei sistemi simmetrici si ha nelle tecniche di compressione del segnale nella comunicazione sia sonora che visiva basate sull’autosimiglianza frattale.

Una fondamentale simmetria nella scienza è espressa dai principi di relatività: per descrivere i fenomeni naturali sono equivalenti e adeguate classi di infiniti sistemi di riferimento nello spazio e nel tempo. Ciò è un prerequisito essenziale perché le leggi naturali siano universali e la scienza possa progredire. A questo principio fondamentale corrispondono differenti gruppi di trasformazioni di simmetria a seconda della teoria di relatività (galileiana, ristretta o generale) significativa negli specifici contesti fisici. Queste fondamentali simmetrie ‘geometriche’ della struttura dello spazio-tempo fisico costituiscono lo scheletro di ogni teoria scientifica consistente; con esse si combinano le simmetrie specifiche delle leggi dei singoli processi.

Simmetrie nascoste
La nostra conoscenza del mondo può venir suddivisa in due categorie: le condizioni iniziali e le leggi della natura. Lo stato del mondo è conseguenza sia delle leggi, che agiscono a livello fondamentale e sono caratterizzate da simmetrie esatte, sia delle condizioni iniziali, che spesso sono complicate e non si rivelano in tutti i minimi dettagli.

È ovvio che un sistema privo di simmetrie, anche se soggetto a leggi naturali simmetriche, non presenterà un comportamento simmetrico. Ma leggi simmetriche anche agenti su un sistema simmetrico possono produrre un effetto non simmetrico. La soluzione più simmetrica per uno spillo nel campo gravitazionale terrestre è rimanere verticale sulla sua punta, ma essa non si presenta nel mondo reale, essendo tale stato di equilibrio instabile, esposto a un minimo movimento d’aria.
L’esistenza matematica di soluzioni delle leggi non è quindi sufficiente perché esse siano fisicamente possibili. L’ingrediente mancante è la stabilità.

Le leggi che si applicano ai sistemi simmetrici predicono di fatto un insieme di effetti simmetricamente connessi. Madre natura deve però scegliere quale di tali effetti vuole realizzare. La risposta sembra risiedere nelle imperfezioni. La natura non è mai perfettamente simmetrica, ci sono sempre minuscole fluttuazioni e queste imperfezioni accrescono le probabilità dell’uno o dell’altro degli effetti possibili.

Le soluzioni si presentano in insiemi simmetricamente connessi: negli esperimenti si può osservare di solito solo un membro dell’insieme delle soluzioni simmetricamente connesse garantite dalla legge. Il sistema complessivo continua a possedere una simmetria perfetta: sono le soluzioni che rompono la simmetria. Ad esempio, nel caso dello spillo, accanto alla soluzione instabile vi sono infinite soluzioni orizzontali possibili dirette in tutte le direzioni, il cui insieme conserva la simmetria circolare.

La simmetria totale non è andata quindi persa, ma rimane nascosta nella molteplicità delle soluzioni possibili, una sola delle quali accessibile all’osservazione. Per questo tipo di rottura si usa il termine ‘spontanea’ a sottolineare che essa è una conseguenza naturale di instabilità interne anziché essere imposta dall’esterno da un agente che modifica il sistema.

In casi importanti esiste un valore critico in una qualche quantità variabile che determina se la simmetria sopravvive o viene meno. Un esempio comune è la temperatura: i valori critici compaiono quando vi sono cambiamenti di fase, quando le parti che compongono un sistema rimangono le stesse ma si ridistribuiscono in nuovi modi caratteristici. Ecco così che la simmetria sferica di una goccia d’acqua si riduce a quella esagonale del fiocco di neve.

Paradossalmente, il tipico risultato di una perdita di simmetria è una regolarità, nel senso di una forma geometrica regolare, perché solo di rado va perduta tutta la simmetria: si ha un mutamento nel gruppo di simmetria, un passaggio repentino da un gruppo più grande ad uno più piccolo, dal tutto a una parte.

Se c’è un credo della creazione nella cosmologia moderna è che l’universo era inizialmente simmetrico: tutte le forze fondamentali avevano la stessa intensità, vi era la stessa quantità di materia e antimateria, non vi erano direzioni privilegiate nello spazio e nel tempo. Questa convinzione è andata crescendo avendo riconosciuto sempre più esempi che suggeriscono che le asimmetrie nell’universo di oggi, come le intensità radicalmente differenti delle forze attuali e le discriminanti proprietà necessarie per la vita, discendono da condizioni più simmetriche nella storia precedente dell’universo.

Questo credo porta a profondi interrogativi: perché il tempo ci appare scorrere in una direzione ben definita? Dove è finita l’antimateria? Perché le interazioni fondamentali e le masse degli ultimi elementi materiali sono così differenti? Perché la vita si sviluppa sull’asimmetria speculare, sulla distinzione fra destra e sinistra nella struttura fondamentale delle molecole organiche?

I teorici sospettano che la creazione originale fosse davvero perfetta e che le vere simmetrie della natura siano rimaste nascoste da enormi transizioni di fase nel passaggio dalla fornace del big bang a oggi. Un tema focale della ricerca corrente è proprio capire come la natura nasconda la simmetria, producendo forme strutturate partendo da un’uniformità di base, e trovare così le sorgenti di ogni asimmetria, ragione della forma e dell’esistenza.

© Riproduzione riservata

Alessandro Pascolini

Alessandro Pascolini insegna Metodi matematici della fisica e Scienze per la pace presso l’Università di Padova. I suoi interessi di ricerca riguardano la fisica nucleare teorica, la fisica matematica, le tecnologie militari e la storia della scienza. Si dedica ad attività di promozione della cultura scientifica in Europa; nel 2004 la Società Europea di Fisica gli ha conferito il premio per la divulgazione scientifica.

Un commento a “Simmetria e asimmetria nella scienza”

  • giuseppe antonio cozza scrive:

    A proposito di simmetrie ed asimmetrie desidererei approfondire il fenomeno della radiazione da un sistema di cariche. In particolare approfondire il caso di un sistema simmetrico che irradia qualora si operi una rottura esplicita della simmetria. Grazie.

    G. A. Cozza

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